Témák szakdolgozathoz (2015/2016. tanév)

Véletlen gráfok és gráflimeszek
Matematikus alapszak vagy mesterszak, alkalmazott matematikus mesterszak

A nagy hálózatok elméleti szempontból történő kutatásának egyik legtöbbet vizsgált területe a gráfsorozatok konvergenciájának vizsgálata lett. Erre több különböző fogalom is született az utóbbi évtizedben. A megfelelő fogalmak megtalálása mellett ebben a témában azt a kérdést is több szempontból vizsgálták, hogy bizonyos módon sorsolt véletlen gráfok sorozata mikor konvergens (például 1 valószínűséggel). Természetesen ez is függ a gráfkonvergencia definíciójától.

A feladat egyrészt a véletlen gráfok konvergenciájáról szóló szakirodalom feldolgozása elsősorban a pozitív élsűrűségű esetre koncentrálva, amikor a sorozat határértéke egy [0,1]×[0,1]-en értelmezett szimmetrikus, mérhető függvény lehet. A feladat másik része annak vizsgálata (akár elméleti, akár számítógépes szimulációs módszerekkel), hogy a konvergencia sebessége hogyan függ a modell pontos választásától vagy attól, hogy milyen távolságfogalmat használunk a gráfok között. Ez utóbbira két lehetőség például az úgynevezett vágástávolság, illetve a "jumble norm". Kiindulópontként az [1] cikkben szereplő "randomly grown attachment" gráfmodell szolgálna, melyben a gráfhoz az n. lépésben hozzávett csúcs 1-i/n valószínűséggel kötődik hozzá a már létező i. csúcshoz, majd a régi csúcsok közötti további élek véletlenszerű behúzására is van lehetőség.

Kapcsolódó irodalom:

[1] C. Borgs, J. Chayes, L. Lovász, V.T. Sós and K. Vesztergombi. Limits of randomly grown graph sequences, Eur. J. Combin. 32 (2011), 985-999. [pdf]

[2] L. Lovász. Large networks and graph limits. American Mathematical Society, 2012.

[3] B. Szegedy and L. Lovász. Limits of dense graph sequences, J. Comb. Theory B 96 (2006), no. 6, 933--957. [pdf]
Hawkes-folyamatok és alkalmazásaik a pénzügyi matematikában
Biztosítás- és pénzügyi matematika mesterszak, pénzügyi matematika szakirány

A Hawkes-folyamatok olyan többváltozós véletlen pontfolyamatok egy családja, melynek definíciója (az egyes koordináták közötti kapcsolatot leíró magfüggvény megválasztásával) viszonylag nagy rugalmasságot tesz lehetővé. Így ezek a folyamatok jól alkalmazhatók pénzügyi folyamatok modellezésére is [1]. Bizonyos speciális esetben, amikor a magfüggvény exponenciális, a folyamat Markov-tulajdonságú lesz, és ez pontosabb szimulációs eljárásokat is lehetővé tesz. [2] A feladat a Hawkes-folyamatok elméleti hátteréről szóló szakirodalom egy részének feldolgozása, illetve szimulációk készítése, és annak vizsgálata, hogy a magfüggvény változtatása hogyan módosítja a folyamat lefutását vagy például a korrelációstruktúráját.

Kapcsolódó irodalom:

[1] E. Bacry, I. Mastromatteo and J.-F. Muzy. Hawkes processes in finance. Market Microstructure and Liquidity 01 (2015), no. 01, article no. 1550005. [pdf]

[2] A. Dassios and H. Zhao. Exact simulation of Hawkes process with exponentially decaying intensity. Electronic Communications in Probability 18 (2013), no. 18., article no. 62, 1-13. [pdf]

[3] J. Moller and J.G. Rasmussen. Perfect simulation of Hawkes processes. Adv. in Appl. Probab. 37 (2005), no. 3, 629-646. [pdf]